Математическое моделирование процессов резания


Численные методы оптимизации - часть 2


Таким образом, на полупрямой, исходящей из очередной точки
 в направлении антиградиента (при спуске) ищется точка абсолютного минимума, которая и выбирается в качестве очередной точки
 [1, С.272; 5, С.227; 15, С.45].

Определение 4.4

Метод наискорейшего спуска - один из градиентных методов оптимизации, при котором положение точки

 в (i+1)-м приближении определяется из условия

       

, где
.   (4.7)

На рисунке 4.1. изображена геометрическая иллюстрация этого метода для случая минимизации функции двух переменных. Из начальной точки

 перпендикулярно линии уровня
 в направлении -
 спуск продолжают до тех пор, пока не будет достигнуто минимальное вдоль луча значение функции
. В найденной точке
 этот луч касается линии уровня
. Затем из точки
 проводят спуск в направлении, перпендикулярном линии уровня, до достижения
 и т.д. Следует отметить, что чрезвычайно большое значение при использовании численных методов имеет выбор начальной точки
. Так, для случая, приведенного на рисунке, выбор в качестве начальной точки
 приведет к тому, что каждая итерация будет приближать решение к седловой точке
, а не к точке минимума
.

Рис 4.1.  Геометрическая интерпретация метода наискорейшего спуска при минимизации функции двух переменных

В качестве критерия окончания итераций при использовании численных методов оптимизации, как правило, используют следующие условия

                     

,                 (4.8)

                   

,               (4.9)

                     

,                 (4.10)

где

,
,
 - заданные положительные числа. Нередко используются различные сочетания критериев (4.8)-(4.10) или критерии, основанные на понятии относительной погрешности [1, С.270]. Надежные и универсальные критерии окончания счета, которые были бы применимы к широкому классу задач и гарантировали бы достижение требуемой точности, в настоящее время неизвестны.

Помимо рассмотренных нами методов численной оптимизации широко применяются методы сопряженных градиентов [1, С.284; 5, С.228; 15, С.73], покоординатного спуска [1, С.268; 5, С.239; 15, С.53], метод Ньютона [1, С.279; 15, С.55], методы выпуклой оптимизации [5, С.231] и т.д.




- Начало -  - Назад -  - Вперед -