Математическое моделирование процессов резания


Численные методы оптимизации - часть 3


Рис 4.2.  Графики функций двух переменных, для максимизации которых градиентные методы неприменимы

Кроме численных методов, основанных на применении понятия градиента, существуют так называемые «методы прямого поиска», при использовании которых вычисление производных не требуется. Методы прямого поиска основаны на сравнении значений целевой функции в последовательно вычисляемых пробных точках. Обычно методы этой группы применяются тогда, когда в окрестности точки локального экстремума функция не является гладкой и не может быть продифференцирована. Примеры графиков таких функций приведены на рисунке 4.2. Методы прямого поиска гораздо менее эффективны, чем градиентные методы, но в ряде случаев их использование неизбежно [1, С.287; 31, С.211-239].

Рассмотренные нами методы численной оптимизации применяются обычно для решения задач без ограничений. В то же время математическая модель оптимизации в форме (4.2) в общем виде содержит ограничения - равенства и неравенства. Задачи вида (4.2) удается сводить к случаю безусловной оптимизации за счет изменения целевой функции. Такой подход реализуется в методах штрафных функций и барьеров [5, С.229; 31, С.196-206].

При использовании метода штрафных функций в задаче максимизации целевая функция

 заменяется семейством функцией вида

           

,
=1,2,... ,      (4.11)

где

 - штрафная функция, которая внутри допустимой области принимает нулевое значение, а вне ее - отрицательна, а
 -
-й элемент последовательности положительных чисел, сходящейся к нулю.

В методе барьеров при решении задачи максимизации в форме (4.2) целевая функция

 заменяется семейством функций

             

,
=1,2,...        (4.12)

где

 - барьерная функция, которая характеризуется свойством стремиться к -
 при приближении
 к границам допустимой области изнутри, а
 определяется аналогично (4.11).

При решении любым из численных методов задачи безусловной оптимизации (4.11) или (4.12) при

=1,2,..., может быть получена последовательность экстремальных точек
, сходящаяся к экстремальной точке исходной задачи (4.2).Переход от задачи максимизации к задаче минимизации при использовании метода штрафных функций и метода барьеров осуществляется изменением знака штрафной
 или барьерной
 функции.




- Начало -  - Назад -  - Вперед -