Математическое моделирование процессов резания

Пилотка девушки подробности здесь. |

Методы решения задач оптимизации


В случае, когда функция

 и функции
, задающие ограничения, являются дифференцируемыми (гладкими) для решения задач оптимизации может быть использовано понятие градиента. Поле градиента обычно определяется как векторное поле, которое характеризует скалярное поле в направлении его наискорейшего возрастания.

Определение 4.1

Для любой дифференцируемой функции

 ее градиентом
 в точке
 называется вектор

                

.            (4.4)

Возможности использования аналитических градиентных методов для решения задач оптимизации подробно рассматривались при изучении курса «Высшая математика» (см. также [5, С.216-220; 15, С.12-40; 18, С.265-276]). Отметим некоторые особенности, связанные с применением аналитических методов оптимизации:

1. Аналитические методы применимы лишь для оптимизации дифференцируемых (гладких) функций, то есть функций, имеющих частные производные по крайней мере до второго порядка включительно.

2.             Необходимые условия экстремума первого порядка [15, С.23] позволяют выделить лишь стационарные точки функции. Для определения точек экстремума требуется использование необходимых и достаточных условий второго порядка [15, С.24], что значительно увеличивает вычислительную сложность задачи.

3.             Аналитические методы, основанные на непосредственном использовании необходимых и достаточных условий экстремума, позволяют выделить лишь точки экстремума, лежащие внутри допустимой области

 и не позволяют выделить экстремальные точки на границе
. Для поиска точек экстремума, лежащих на границе
, необходимо использовать метод множителей Лагранжа.

Алгоритм аналитической оптимизации функций на основании необходимых и достаточных условий экстремума состоит из следующих четырех шагов.

1.   Свести задачу к стандартной форме постановки оптимизационных задач.

2.   Используя необходимое условие экстремума первого порядка

, определить стационарные точки.

3.   Используя достаточные условия экстремума второго порядка, определить, являются ли стационарные точки экстремальными. Если стационарные точки являются экстремальными, определить характер экстремума (максимум или минимум).

4.   Вычислить значения целевой функции в найденных точках локального экстремума нужного вида.




- Начало -  - Назад -  - Вперед -